1.Математические основы информатики — 8 кл

Общие сведения о системах счисления

История появления систем счисления. Основные понятия

Теория:

С древних времён у людей была необходимость в счёте. Посчитать добычу, дни до определённого события, записать долг. Счёт древних людей был довольно примитивным. Они делали засечки/чёрточки на дереве, камнях, глине. Одна засечка обозначала один объект. Такую систему счисления называют унарной. Один символ обозначает один объект. Вместо засечек разные народы использовали свои обозначения — камешки, узелки.

1 (1).png

Рис. 1. Унарные системы счисления

В третьем тысячелетии до н. э. египтяне изобрели свою систему счисления. Каждая цифра имела своё обозначение, а числа получались путём сложения ключевых цифр.

Рис. 2. Египетская система счисленияРис. 3. Египетская нумерация

Одной из самых распространённых систем счисления стала римская. До сих пор её используют для обозначения веков, глав в книгах, цифр на часах. Ключевые цифры имели следующие значения:

IVXLCDM
1510501005001000
clock-3652702_1280.jpg

Рис. 4. Часы с римскими цифрами

Числа получаются путём сложения или вычитания ключевых цифр.

Например, XXI=10+10+1=21; XLIV=(50−10)+(5−1)=44.

Десятичная система счисления, которая сейчас используется во всем мире, была изобретена в Индии. Арабский математик Аль-Хорезми в своей книге дал подробное описание индийской арифметике. Индийская арифметика сначала стала популярной в арабских странах, а затем в Европе. Поэтому и называются наши цифры арабскими.

222.png

Рис. 5. Десятичная система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью символов (цифр), подчиняющийся определённым правилам.

Системы счисления могут быть:

  • унарные;
  • позиционные (двоичная, десятичная, восьмеричная);
  • непозиционные (римская, древнеегипетская, вавилонская).

2. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Теория:

Любое число позиционной системы счисления можно представить в свёрнутой форме и развёрнутой. Со свёрнутой формой ты встречаешься постоянно, но совсем не задумываешься, как получаешь развёрнутую форму числа, умножая каждую цифру числа на её вес. Рассмотрим подробнее развёрнутую форму числа.

Развёрнутая форма числа — это сумма произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.

Представим десятичное число 123,45 в развёрнутом виде.

Для этого необходимо пронумеровать разряды. Разряд единиц — 0, десятков — 1 и т. д.

122130,4−15−2.

Теперь будем умножать каждую цифру числа на основание системы счисления в степени, соответствующей разряду.

Свёрнутая форма числаРазвёрнутая форма числа
123,451×102+2×101+3×100+4×10−1+5×10−2

Правило перевода любого числа позиционной системы счисления в десятичную.

1. Сделать развёрнутую запись числа.

2. Вычислить получившуюся сумму.

Правило перевода из десятичной системы счисления в любую позиционную систему счисления.

1. Разделить число на основание новой системы счисления нацело. Остаток записать.

2. Получившееся частное опять разделить на основание новой системы счисления. Остаток записать.

3. Повторять пункт 2 до тех пор, пока в частном не получится 0.

4. Собрать число из последовательности остатков, записанных в обратном порядке.

Последнее правило удобнее реализовать, выполняя деление в столбик.

Двоичная система счисления

Основание: 2.

Алфавит: 0, 1.

Переведём двоичное число 11010,112 в десятичную систему счисления.

1. Запишем развёрнутую форму числа.

1413021100,1−11−22=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2−1+1×2−2.

2. Вычислим.

1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2−1+1×2−2==16+8+0+2+0+0,5+0,25=26,75.

3. Запишем ответ. Нижний индекс обозначает основание системы счисления, в которой записано число.

11010,112=26,7510.

Переведём число 124 в двоичную систему счисления.

1. Разделим число 124 на 2 — основание новой системы счисления.

2. Далее будем делить получившиеся частные на 2 до тех пор, пока не получится ноль.

Скриншот 03-09-2021 00_25_49.jpg

Рис. 1. Двоичная система счисления

3. Соберём остатки от деления в обратном порядке и получим двоичное число.

12410=11111002.

Восьмеричная система счисления

Основание: 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Переведём восьмеричное число 4517 в десятичную систему счисления.

435211708=4×83+5×82+1×81+7×80=4×512+5×64+1×8+7×1==2048+320+8+7=238310.

Запишем ответ: 45178=238310.

Переведём десятичное число 2383 в восьмеричную систему счисления.

Скриншот 03-09-2021 00_09_29.jpg

Рис. 2. Восьмеричная система счисления

Соберём остатки от деления и получим восьмеричное число: 238310=45178.

Шестнадцатеричная система счисления

Основание: 16.

Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).

В системах счисления, которые содержат больше 10 знаков, после цифры 9 начинаются латинские буквы. 10, 11, 12 использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.

Переведём шестнадцатеричное число 17AC в десятичную систему счисления.

1372A1C016=1×163+7×162+10×161+12×160==4096+1792+160+12=606010.

Запишем ответ: 17AC16=606010.

Переведём десятичное число 6060 в шестнадцатеричную систему счисления.

Скриншот 03-09-2021 00_10_26.jpg

Рис. 3. Шестнадцатеричная система счисления

Запишем ответ: 606010=17AC16

3. Прямой перевод между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления

Теория:

Иногда возникают ситуации, когда число необходимо перевести из недесятичной системы счисления в недесятичную. Например, из двоичной в восьмеричную. Используя правила, описанные ранее, ты можешь это сделать только через десятичную систему счисления. Двоичное число перевести в десятичное, потом десятичное — в восьмеричное. Это занимает много времени. Рассмотрим другой способ перевода между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Основания этих систем счисления являются степенями двойки: 2=21,8=23,16=24.

Правило перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную.

1. Необходимо разбить двоичное число на тройки (триады), начиная с крайнего правого разряда. Нужно помнить о том, что слева к любому числу можно дописать любое количество нулей.

2. Перевести каждую триаду в восьмеричную систему счисления.  

Правило перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления.

1. Необходимо разбить двоичное число на четвёрки (тетрады), начиная с крайнего правого разряда. Нужно помнить о том, что слева к любому числу можно дописать любое количество нулей.

2. Перевести каждую тетраду в шестнадцатеричную систему счисления.  

Для удобства можно пользоваться таблицей.

ДесятичнаяДвоичнаяВосьмеричнаяШестнадцатеричная
0000
1111
21022
31133
410044
510155
611066
711177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F

Пример:

переведём двоичное число 1110101100 в восьмеричную систему счисления. Для этого разделим его на триады. При делении числа на триады нам не хватило двух цифр, поэтому слева добавим ещё два нуля. Пользуясь таблицей, переведём в восьмеричную систему счисления.

001 = 1;

110 = 6;

101 = 5;

100 = 4.

Скриншот 03-09-2021 01_40_21.jpg

Рис. 1. Перевод числа в восьмеричную систему счисления

4. Арифметические действия в позиционных системах счисления

Теория:

Рассмотрим арифметические действия в позиционных системах счисления на примере двоичной. Для этого удобно пользоваться таблицами сложения, вычитания, умножения и деления.

Скриншот 03-09-2021 02_10_10.jpg

Рис. 1. Таблицы сложения, вычитания, умножения и деления

Пример:

сложим два двоичных числа: 110110+110001.

0 + 1 = 1;

1 + 0 = 1;

1 + 0 = 1;

0 + 0 = 0;

1 + 1 = 10 — запишем ноль, запомним единицу;

1 + 1 + 1 = 11.

Скриншот 03-09-2021 02_14_26.jpg

Рис. 2. Сложение двоичных чисел

Умножим двоичные числа 11011 на 110. Умножение в двоичной системе счисления сводится к многократному сложению.

Скриншот 03-09-2021 02_31_26.jpg

Рис. 3. Умножение двоичных чисел

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются аналогичным образом. Нужно построить соответствующие таблицы сложения, вычитания, умножения и деления. Но это весьма трудоёмкий процесс. Вычисления в этих системах счисления лучше доверить компьютеру.


Вот также интересный материал по этой теме из сайта «ХАБР»

— ПЕРЕЙТИ


Вопросы по данному уроку:

  • История появления систем счисления. Какие бывают системы счисления?
  • Какая система счисления является одной из самых распространённых;
  • Правило перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную;

Также материал. Смотреть — по желанию.

Математические основы информации

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: